УДК 519.654
Приближение функции по методу наименьших
квадратов. базис в виде ортогональных полиномов
А. И. Кардани, студент группы 345
Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е.Жуковского «ХАИ»
Аппроксимация - это приближённое выражение известных 1 математических зависимостей объектов через другие, более простые, и, следовательно, более известные.
Метод наименьших квадратов - один из основных методом К аппроксимации. МНК - один из наиболее широко используемых методов при решении многих задач восстановления регрессионных зависимостей, а также во многих областях математики, в частности в теории интерполяции І функций, статистике, экономике.
Аппроксимирующая функция по методу наименьших квадратов строится из условия минимума суммы квадратов отклонений в каждой из I узловых точек. Эту задачу можно свести к задаче поиска корня системы \ уравнений
Q/ .
относительно коэффициентов для решения СЛАУ обычно составляется расширенная матрица коэффициентов, которую называют матрицей Грама, элементами которой являются скалярные произведения базисных функций и столбец свободных коэффициентов.
Целесообразно использовать ортогональные полиномы при аппроксимации по МНК. Свойство ортогональности полиномов заключается в том, что для каждого типа полинома существует отрезок [хО, хп], на котором обращаются в нуль скалярные произведения полиномов разного порядка.
В случае большого количества узлов на отрезке скалярные произведения будут близки к дискретным скалярным произведениям, так как интегрирование можно приближенно заменить суммированием. Значит, недиагональные элементы матрицы Грамма станут иметь небольшую абсолютную величину, что позволит уменьшить погрешность решения системы нормальных уравнений.
*Научный руководитель старший преподаватель каф.304 О.В. Яровая
Нет похожих статей